设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=12求an设bn=2n-1sn，求数列{bn}的前n项和T

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=12
（1）求a_n（2）设bn=2n-1sn，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为：an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=12
所以：s_n-s_n-1+2s_n•s_n-1=0⇒1sn-1sn-1=2．
∴{1sn}是以2为首项，2为公差的等差数列；
∴1sn=2+2（n-1）=2n⇒sn=12n．
∴n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1)．
而a1=12不适合上式．
∴an=12(n=1)-12n(n-1)(n≥2)（6分） 
 （2）∵bn=2n-1sn=2n•2^n-1，
∴T_n=2（1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1）
∴2T_n=2（1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）．
两式相减可得，-T_n=2（1×2⁰+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ）=2×[1×(1-2 n)1-2-n•2ⁿ]=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（6分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。