一个公差不为零的等差数列{an}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项．记{an}各项和的值为S．求S（用数

题文

一个公差不为零的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．记{a_n}各项和的值为S．
（1）求S （用数字作答）；
（2）若{b_n}的末项不大于S2，求{b_n}项数的最大值N；
（3）记数列{c_n}，c_n=a_nb_n（n∈N*，n≤100）．求数列{c_n}的前n项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d（d≠0），
由b₁，b₃，b₅成等比数列，得b₃²=b₁b₅ 
即（5+3d）²=5（5+15d）⇒d=5．
所以a_n=5n （n∈N*，n≤100 ）
S=5•100+100•9925=25250 （6分）
（2）由b₁=5，b₃=20⇒q²=4（q＞0），
所以q=2，b_n=5•2^n-1 
由bn≤S2⇔2n≤5050，
所以n的最大值为12．又b_n+1＞b_n，
所以b1＜b2＜…b12≤S2，n≥13时bn＞S2，所以N=12．（12分）
（3）c_n=25n•2^n-1，Tn=25(1+2•2+3• 22+…+n•2n-1)2Tn=25[2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n] 
两式相减得-T_n=25（1+2+•2²+…+2^n-1-n•2ⁿ）=25[（1-n）2ⁿ-1]
T_n=25[（n-1）2ⁿ+1]（n∈N*，n≤100）（16分）

解析

100•992

考点

据考高分专家说，试题“一个公差不为零的等差数列{an}共有10.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。