必做题：已知an是二项式n的展开式中x的一次项的系数

题文

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知a_n（n∈N^*）是二项式（2+x）ⁿ的展开式中x的一次项的系数．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）是否存在等差数列{b_n}，使a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ对一切正整数n都成立？并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵（（2+x）ⁿ的展开式的通项为：T_r+1=C_n^r2^n-rx^r（r=0，1，2…n）
令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差数列{b_n}，满足已知条件
则当n=1时，b₁=a₁=1
当n=2时，a₂=b₁C₂¹+b₂C₂²即4=4=2+b₂，所以b₂=2
当n=3时，a₃=b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³即12=3+6+b₃，所以b₃=3
由上述结果，猜想b_n=n
下面证明：当b_n=n时，a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n都成立
即证n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法一）设S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹
则2S=nC_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1
即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法二）∵kC_n^k=kn!k!(n-k)!=n!(k-1)!(n-k)!=n(n-1)!(k-1)![(n-1)-(k-1)]!=nC_n-1^k-1
∴C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1
综上可得，存在等差数列b_n=n满足已知条件．

解析

n!k!(n-k)!

考点

据考高分专家说，试题“必做题：（本小题满分10分，请在答题指定.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。