已知：对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，若数列{an}的通项公式an=52n2-32n

题文

已知：对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n，
（1）若数列{a_n}的通项公式an=52n2-32n（n∈N^*），求：数列{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，
①设bn=an2n，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
②求：数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意△a_n=a_n+1-a_n，
∴△a_n=[52（n+1）²-32（n+1）]-[52n2-32n]=5n+1
（2）①由△a_n-a_n=2ⁿ⇒a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ⇒a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∵bn=an2n，
∴b_n+1-b_n=an+12n+1-an2n=an+1-2an2n+1=2n2n+1=12，且b1=a12=12，
故{b_n}是首项为12，公差为12的等差数列
∴b_n=n2
②∵bn=an2n，
∴a_n=n2•2n=n•2^n-1
∴s_n=1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1（1）
2s_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）-（2）得-s_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=1-2n1-2-n•2ⁿ
∴s_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1
=（n-1）2ⁿ+1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知：对于数列{an}，定义{△an}为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。