设数列{an}的首项a1=1，其前n项和Sn满足：3tSn-Sn-1=3t．求证：数列{an}为等比数列；记{

题文

设数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n满足：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）记{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(1bn-1) (n=2，3，…)，求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，∴a2=2t+33t=a2a1
又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）两式相减，
得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
∴anan-1=2t+33t（n=3，4，）
综上，数列{a_n}为首项为1，公比为2t+33t的等比数列
（Ⅱ）由f(t)=2t+33t=23+1t，得bn=f(1bn-1)=23+bn-1，
所以{b_n}是首项为1，，公差为23的等差数列，bn=2n+13b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n=-43(b2+b4+…+b2n)=-43•n2(53+4n+13)=-49(2n2+3n)

解析

2t+33t

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的首项a1=1，其前n项和.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。