数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0，n∈N．求数列{an}的通项；设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求

题文

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0，n∈N．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}是以8为首项，-2为公差的等差数列
∴a_n=10-2n，n∈N
（2）（2）∵a_n=10-2n，令a_n=0，得n=5．
当n＞5时，a_n＜0；当n=5时，a_n=0；当n＜5时，a_n＞0．
∴当n＞5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n．
当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n．
∴Sn=-n2+9nn≤5n2-9n+40n≥6，n∈N

解析

-n2+9nn≤5n2-9n+40n≥6

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=8，a4=2，且满.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。