已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+2n-1，又数列{an+λ2n}为等差数列．求实数λ的值及{an}的通项公式an

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），又数列{an+λ2n}为等差数列．
（1）求实数λ的值及{a_n}的通项公式a_n
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n（最后结果请化成最简式） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n≥2，an+λ2n-an-1+λ2n-1=2n-1-λ2n=1-1+λ2n
因为为等差数列  所以1-1+λ2n为常数，所以λ=-1----（4分）
n≥2，an+12n-an-1+12n-1=1且a1+121=1，得an+12n=n，
所以a_n=n×2ⁿ-1-------------------（7分）
（2）S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-n
记 T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ2T_n
=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹
得T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2------------------（12分）
所以S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-n-----------------（14分）

解析

an+λ2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an=2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。