设n∈N*，圆Cn：x2+y2=R2n与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=x的交点为N，直线MN与x轴的交点为A．用n

题文

设n∈N^*，圆C_n：x²+y²=R2n（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=x的交点为N（1n，yn），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用n表示R_n和a_n；
（2）求证：a_n＞a_n+1＞2；
（3）设Sn=a₁+a₂+a₃+…+a_n，T_n=1+12+13+…+1n，求证：75＜Sn-2nTn＜32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵N（1n，yn）在曲线y=x上，∴N（1n，1n）
代入圆C_n：x²+y²=R2n，可得Rn=n+1n，∴M（0，n+1n）
∵直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
∴1n-01n-an=1n-n+1n1n-0
∴an=1+1n+1+1n
（2）证明：∵1+1n+1＞1，1+1n+1＞1
∴an+1=1+1n+1+1+1n+1＞2
∵1+1n＞1+1n+1，1+1n＞1+1n+1
∴an=1+1n+1+1n＞1+1n+1+1+1n+1
∴a_n＞a_n+1＞2；
（3）证明：先证当0≤x≤1时，1+(2-1)x≤1+x≤1+x2
事实上，1+(2-1)x≤1+x≤1+x2等价于[1+(2-1)x]2≤1+x≤(1+x2)2
等价于1+2(2-1)x+(3-22)x2≤1+x≤1+x+x24
等价于(22-3)x+(3-22)x2≤0≤x24
后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x²-x≤0，即0≤x≤1
∴当0≤x≤1时，1+(2-1)x≤1+x≤1+x2
∴1+(2-1)×1n≤1+1n＜1+12n
∴2+2×1n≤an=1+1n+1+1n＜2+32n（等号仅在n=1时成立）
求和得2n+2×Tn≤Sn＜2n+32Tn
∴75＜Sn-2nTn＜32．

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“设n∈N*，圆Cn：x2+y2=R2n（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。