设an表示满足不等式x＞0y＞0y≤-nx2+10n的整数对的个数，则14024(a2+a4+…a2012

题文

设a_n表示满足不等式x＞0y＞0y≤-nx2+10n的整数对（x，y）的个数（其中整数对是指x，y都为整数的有序实数对），则14024(a2+a4+…a2012)=（ ）A．1012B．2014C．4024D．4028 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵x＞0，y＞0，
∴y≤-nx²+10n即y≤n（10-x²）
①当x=1时，正整数y≤9n，共9n个整数对（x，y）；②当x=2时，正整数y≤6n，共6n个整数对（x，y）；
③当x=3时，正整数y≤n，共n个整数对（x，y）
由此可得，a_n=9n+6n+n=16n
∴a₂+a₄+…+a₂₀₁₂=16（2+4+…+2012）=16×503×（2+2012）=4024×4028
由此可得14024(a2+a4+…a2012)=14024×（4024×4028）=4028
故选：D

解析

14024

考点

据考高分专家说，试题“设an表示满足不等式x＞0y＞0y≤-n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。