设f1(x)=21+x，fn+1(x)=f1[fn(x)]，且an=fn(0)-1fn(0)+2，则a1+a2+…+a2009=______．

题文

设f1(x)=21+x，fn+1(x)=f1[fn(x)]，且an=fn(0)-1fn(0)+2，则a₁+a₂+…+a₂₀₀₉=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=21+fn(0)
所以fn+1(0)-1fn+1(0)+2
=-12•fn(0)-1fn(0)+2
即a_n+1=-12•a_n
而a1=1/4
  a2=-1/8
∴an=14•(-12)n-1 
=(-12)n+1对于任何正整数n均成立
∴a₁+a₂+…+a_{2009=16[1+(12)2009]}．
故答案为：16[1+(12)2009]．

解析

21+fn(0)

考点

据考高分专家说，试题“设f1(x)=21+x，fn+1(x)=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。