已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n．求数列an的通项公式；设Tn=a1+122+a2+123+…+a

题文

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）设Tn=a1+122+a2+123+…+an+12n+1，求T_n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为S_n=na_n-2（n-1）n，
所以当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-2）（n-1）．a_n=S_n-S_n-1=na_n-2（n-1）n-（n-1）a_n-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即a_n-a_n-1=4（4分）
所以数列a_n是首项a₁=1，公差d=4的等差数列，且a_n=1+（n-1）4=4n-3（n∈N^*）．（6分）
（II）因为an+12n+1=4n-3+12n+1=2n-12n，
所以Tn=a1+122+a2+123+…+an+12n+1=12+322+523++2n-12n．①（8分）12Tn=122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1．②..（10分）
①-②得12Tn=12+12+122++12n-1-2n-12n+1=12+12[1-(12)n-1]1-12-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1=32-2n+32n+1．
所以Tn=3-2n+32n（12分）

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。