已知函数y=x2-x+nx2+1的最小值为an，最大值为bn，且cn=4．数列{cn}的前n项和为Sn．请用判别式法

题文

已知函数y=x2-x+nx2+1（n∈N^*，y≠1）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=4（a_nb_n-12）．数列{c_n}的前n项和为S_n．
（1）请用判别式法求a₁和b₁；
（2）求数列{c_n}的通项公式c_n；
（3）若{d_n}为等差数列，且d_n=Snn+c（c为非零常数），设f（n）=dn(n+36)dn+1（n∈N^*），求f（n）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n=1时，y=x2-x+1x2+1，则（y-1）x²+x+y-1=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y²-8y+3≤0
∴12≤y≤32
∴a₁=12，b₁=32；
（2）由y=x2-x+nx2+1，可得（y-1）x²+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴a_n•b_n=4n-14
∴c_n=4（a_nb_n-12）=4n-3；
（3）∵c_n=4n-3，∴S_n=2n²-n，∴d_n=Snn+c=2n2-nn+c
∵{d_n}为等差数列，∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，∴c=0（舍去）或c=-12，∴d_n=2n2-nn-12=2n
∴f（n）=dn(n+36)dn+1=nn2+37n+36=1n+36n+37≤1236+37=149
当且仅当n=36n，即n=6时，取等号，∴f（n）的最大值为149．

解析

x2-x+1x2+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=x2-x+nx2+1（n∈N.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。