已知数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2-2an+1+an=0求数列{an}的通项公式；设Sn=|a1|+|a2|+…+|a

题文

已知数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S₂₀；
（3）设bn=4n(14-an)，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有Tn＞m9成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n}为等差数列，
设其公差为d…（1分）
又a₁=8，a₄=2，∴8+3d=2，∴a₁=8，d=-2
∴a_n=-2n+10         …（3分）
（2）∵a_n=-2n+10，∴n≤5时，a_n≥0；n≥6时，a_n＜0…（4分）
∴n≥6时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2（a₁+…+a₅）-（a₁+…+a_n），
所以Sn=n2-9n+40…（7分）
∴S₂₀=260…（8分）
（3）由（1）可得bn=4n(2n+4)=1n-1n+2
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1n-1n+2)=1+12-1n+1-1n+2…（10分）
由T_n为关于n的增函数，故(Tn)min=T1=23，
于是欲使Tn＞m9对n∈N*恒成立，则m9＜23，∴m＜6
∴存在最大的整数m=5满足题意…（12分）

解析

4n(2n+4)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=8，a4=2且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。