已知数列{an}的通项公式为an=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)，设bn=a2n-1a2n，Sn=b1+b2+…+bn．求

题文

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)，设b_n=a2n-1a2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求S_n；
（2）证明：当n≥6时，|S_n-2|＜1n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得，a2n-1=2n-1+12=n，a2n=22n2=2n，故bn=a2n-1a2n=n2n，…（2分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×12+2×(12)2+3×(12)3+…+n•(12)n…（3分）
12S_n=1×(12)2+2×(12)3+3×(12)4+…+n•(12)n+1…（4分）
两式相减得，12S_n=12+(12)2+(12)3+(12)4+…+(12)n-n•(12)n+1=1-(12)n-n(12)n+1…（5分）
化简得S_n=2-(n+2)(12)n．…（7分）
（2）由（1）|S_n-2|=(n+2)(12)n，
因而|S_n-2|＜1n⇔(n+2)(12)n＜1n⇔n（n+2）＜2ⁿ
问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，…（9分）
采用数学归纳法．
①当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此时不等式成立，…（10分）
②假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2^k，…（11分）
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²
＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
这说明，当n=k+1时不等式也成立…（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，成立，原命题得证．…（14分）

解析

2n-1+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的通项公式为an=n+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。