数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+3•2an．求数列{an}，{bn}的通项公式；若cn=2n•log2b

题文

数列{a_n}的前n项和Sn=n2，数列{b_n}满足b1=2，bn+1=bn+3•2an．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若cn=2n•log2bn+1（n∈N^*），T_n为{c_n}的前n项和，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知Sn=n2，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
由bn+1=bn+3•2n，得bn+1-bn=3•2n，
∴bn+1=3•(22n-1+22n-3+…+2)+2
=3•2(4n-1)4-1+2
=2²ⁿ⁺¹
=2^2（n+1）-1，
∵b₁=2满足上式，∴bn=22n-1．
（Ⅱ）∵cn=2n•log222n+1=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，…（8分）
2Tn=3•22+5•23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
两式相减得：-Tn=3•2+2•(22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2．…（13分）

解析

2(4n-1)4-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。