设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．求{an}的通项公式；设bn=1(an+1)(an+1+1)，求数列{bn}的前n项的和Tn．（

题文

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n²．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1(an+1)(an+1+1)，求数列{b_n}的前n项的和T_n．
（3）是否存在自然数m，使得m-24＜T_n＜m5对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=n²，∴当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
a₁=1满足上式，∴a_n=2n-1；
（2）由b_n=1(an+1)(an+1+1)=14•1n(n+1)=14(1n-1n+1)
∴T_n=14（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=14（1-1n+1）=n4(n+1)．
（3）T_n+1-T_n=n+14(n+2)-n4(n+1)=14(n+1)(n+2)＞0，∴{T_n}单调递增，∴T_n≥T₁=18
∵T_n=14（1-1n+1）＜14，∴18≤T_n＜14
使得m-24＜T_n＜m5对一切n∈N^*恒成立，则14≤m5m-24＜18
∴54≤m＜52
∵m是自然数，∴m=2．

解析

1(an+1)(an+1+1)

考点

据考高分专家说，试题“设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。