已知数列{an}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n，n∈N*设bn=2nan，求数列bn的通项公式．设cn=an•(n2+1

题文

已知数列{a_n}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n，n∈N*
（1）设bn=2nan，求数列bn的通项公式．
（2）设cn=an•(n2+1)-1，dn=2ncn•cn+1，求数列{d_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由bn=2nan，bn+1=2n+1an+1，得到an=2nbn，an+1=2n+1bn+1，b1=2a1=1．
代入an+1=2n+1an(n+12)an+2n，化为bn+1-bn=n+12．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+12+（n-2）+12+…+1+12+1
=n(n-1)2+n-12+1
=n2+12．
（2）由（1）可得an=2nbn =2n+1n2+1，
∴cn=2n+1n2+1×(n2+1)-1=2ⁿ⁺¹-1．
∴dn=2ncncn+1=2n(2n+1-1)(2n+2-1)=12(12n+1-1-12n+2-1)，
∴S_n=12[(122-1-123-1)+(123-1-124-1)+…+(12n+1-1-12n+2-1)]
=12(13-12n+2-1)
=16-12n+3-2．

解析

2nan

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。