已知数列an=n-16，bn=n|n-15|，其中n∈N*．求满足an+1=|bn|的所有正整数n的集合；若n≠16，求数列bnan的最大值

题文

已知数列a_n=n-16，b_n=（-1）ⁿ|n-15|，其中n∈N^*．
（1）求满足a_n+1=|b_n|的所有正整数n的集合；
（2）若n≠16，求数列bnan的最大值和最小值；
（3）记数列{a_n b_n}的前n项和为S_n，求所有满足S_2m=S_2n（m＜n）的有序整数对（m，n）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=|b_n|，
∴n-15=|n-15|，
∴当n≥15时，a_n+1=|b_n|恒成立，
当n＜15时，n-15=-（n-15），
∴n=15
n的集合{n|n≥15，n∈N^*}…．…．…．（4分）
（2）∵bnan=(-1)n|n-15|n-16
（i）当n＞16时，n取偶数bnan=n-15n-16=1+1n-16
当n=18时（bnan）_max=32无最小值
n取奇数时bnan=-1-1n-16
n=17时（bnan）_min=-2无最大值  …（8分）
（ii）当n＜16时，bnan=(-1)n(n-15)n-16
当n为偶数时bnan=-(n-15)n-16=-1-1n-16
n=14时（bnan）_max=-12（bnan）_min=-1314
当n奇数  bnan=n-15n-16=1+1n-16，n=1，（bnan）_max=1-115=1415，
n=15，（bnan）_min=0    …（11分）
综上，bnan最大值为32（n=18）最小值-2（n=17）…．…..…．（12分）
（3）n≤15时，b_n=（-1）^n-1（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （16-2k）≥0，
n＞15时，b_n=（-1）ⁿ（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （2k-16）＞0，其中a₁₅b₁₅+a₁₆b₁₆=0
∴S₁₆=S₁₄   m=7，n=8…．（16分）

解析

bnan

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an=n-16，bn=（-1）n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。