已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2．求数列{an}的通项；若bn=nan求数列{bn}的前n项Sn和．

题文

已知数列a_n满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若bn=nan求数列{b_n}的前n项S_n和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）n=1时，a₁=12
∵a1+2a2+2a3…+2n-1an=n2…..（1）
∴n≥2时，a1+2a2+2a3…+2n-2an-1=n-12…．（2）
（1）-（2）得2n-1an=12即an=12n
又a1=12也适合上式，∴an=12n
（Ⅱ）bn=n•2n，∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n（3）
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1（4）
（3）-（4）可得-S_n=1•2+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2(1-2n)1-2-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=(n-1)•2n+1+2

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an满足a1+2a2+22a3+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。