已知p是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1=1，ak+1=pak，其中k=1，2，3，…，p-1．设p=4，求a2，a

题文

已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{a_n}满足：a₁=1，（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k，其中k=1，2，3，…，p-1．
（I）设p=4，求a₂，a₃，a₄；
（II）求a₁+a₂+a₃+…+a_p． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k得ak+1ak=p×k-pk+1，k=1，2，3，…，p-1
即a2a1=-4×4-12=-6，a₂=-6a₁=-6；
a3a2=-4×4-23=-83，a₃=16，
a4a3=-4×4-34=-1，a₄=-16； （3分）
（Ⅱ）由（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k
得：ak+1ak=p×k-pk+1，k=1，2，3，…，p-1
即a2a1=-p×p-12，a3a2=-p×p-23，…，akak-1=-p×p-(k-1)k，
以上各式相乘得aka1=(-p)k-1×(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)k! （5分）
∴ak=(-p)k-1×(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)k!
=(-p)k-1×(p-1)!k!(p-k)!=(-p)k-1p×p!k!(p-k)!
=-(-p)k-2×Ckp=-1p2Ckp(-p)k，k=1，2，3，…，p （7分）
∴a₁+a₂+a₃+…+a_p=-1p2[C1p(-p)1+C2p(-p)2+C3p(-p)3+…+Cpp(-p)p]=-1p2[(1-p)p-1] （10分）

解析

ak+1ak

考点

据考高分专家说，试题“已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。