已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+)，对正整数k，如果f满足：f+f+f+…+f为整数，则称k为“好数”，那么区间[

题文

已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+)，对正整数k，如果f（n）满足：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（k+1）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，129]内所有“好数”的和S=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f(n)=log2(1+1n)(n∈N+)，
∴f（1）=log₂2=1，
f（1）+f（2）+f（3）=log2(21×32×43)=log₂4=2，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=log2(21×32×43×54×65×76×87)=log₂8=3．
…
由题设知k=2ⁿ-2，
由2ⁿ-1≤129，解得1≤n≤7，
∴[1，129]内所有“好数”的和
S=（2-2）+（2²-2）+（2³-2）+…+（2⁷-2）
=2(1-27)1-2-14=240．
故答案为：240．

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“已知f(n)=log2(1+1n)(n∈.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。