已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，数列{bn}满足：bn=2an+1，前n项和为Tn，设Cn=T2n+1-Tn．求数列{bn}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=n2+1，数列{b_n}满足：bn=2an+1，前n项和为T_n，设C_n=T_2n+1-T_n．   
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有Cn＜1621成立，若存在，求自然数k的最小值．若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=2，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴bn=23，(n=1)1n，(n＞1)
（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵Cn+1-Cn=12n+2+12n+3-1n+1=12n+3-12n+2＜0
∴数列{C_n}是单调递减数列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
当n=1时，C1=12+13=56＞1621
当n=2时，C2=13+14+15=4760＞1621
当n=3时，C3=14+15+16+17=319420＜320420=1621
当n≥3时，Cn≤C3＜1621
故，k_min=3．

解析

23，(n=1)1n，(n＞1)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。