在直角坐标平面XOY上的一列点A1，A2，A3，…An，…简记为{An}，若由bn=AnAn+1•j构成的数列{

题文

在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由bn=AnAn+1•j构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N） （其中j是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1），A2(2，12)，A3(3，122)…An(n，12n-1)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵An(n，12n-1)，An+1(n+1，12n)，
∴AnAn+1=(1，-12n)，
又∵j=(0，1)，∴bn=AnAn+1•j= -12n，
∴bn+1=-12n+1，bn=-12n，
显然b_n+1＞b_n，∴{A_n}为“和谐点列”．
（2）证明：∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴AnAn+1=(1，an+1-an)．又因为j=(0，1)，
∴b_n=a_n+1-a_n．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴a_q-q_p=a_q-q_q-1+a_q-1-a_q-2+…+a_p+1-a_p=b_q-1+b_q-2+…+b_p．
∵{A_n}为“和谐点列”∴b_n+1＞b_n．
∴b_q-1+b_q-2+…+b_m=（q-p）b_p．
即a_q-a_p≥（q-p）b_p．
同理可证：a_n-a_m=b_n-1+b_n-2+…+b_m≤（n-m）b_n-1．
∵b_p＞b_n-1，n-m=q-p．
∴（q-p）b_q＞（n-m）b_n-1．
∴a_q-a_p＞a_n-a_m．
∴a_q+a_m＞a_n+a_p．

解析

12n-1

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。