已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=3a5-2，又a1，a2，a5依次成等比数列，数列{bn}满足b1=-9，bn+1=bn+k2an

题文

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比数列，数列{b_n}满足b₁=-9，bn+1=bn+k2an+12，（n∈N⁺）其中k为大于0的常数．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记数列a_n+b_n的前n项和为T_n，若当且仅当n=3时，T_n取得最小值，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比数列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化简得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1=bn+k2an+12=bn+k2n
∴bn+1-bn=k2n
当n≥2时，bn-bn-1=k2n-1bn-1-bn-2=k2n-2
b2-b1=k2
∴bn-b1=k2n-1+k2n-2+k2=k×(2n-1-12-1×12n-1)=k×2n-1-12n-1=k-2k2n-1
∴bn=-9+k-2k2n-1
当n=1时，b₁=9满足上式
∴bn=-9+k-2k2n-1(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn=-9+k-k2n-1(n∈N*)
∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=2+k2n＞0
∴数列a_n+b_n是递增数列
∵当n=3时，T_n取得最小值
∴a3+b3=5+(k-9-k4)=3k4-4＜0a4+b4=7+(k-9-k8)=7k8-2＞0
解得167＜k＜163．

解析

k2an+12

考点

据考高分专家说，试题“已知公差不为0的等差数列{an}的前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。