已知数列{an}中an=n+1，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(910)n-1+(910)n-2+…+910+1．求b

题文

已知数列{a_n}中a_n=n+1，又数列{b_n}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(910)n-1+(910)n-2+…+910+1．
（1）求b_n的表达式；
（2）若c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n都c_n≤c_k成立？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由 nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(910)n-1+(910)n-2+…+910+1，
得，（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+b_n-1=(910)n-2+…+910+1两式相减，
得 b1+b2+…+bn=(910)n-1=Sn
∴当n=1时，b₁=S₁=1
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=-110(910)n-2
即bn=1… …当n=1时-110(910)n-2…当n≥2时
（2）由（1）得 cn=-anbn=-2… …当n=1时n+110(910)n-2…当n≥2时
设存在自然数k，使对n∈N，c_n≤c_k恒成立
当n=1时，c2-c1=2310＞0⇒c2＞c1
当n≥2时，cn+1-cn=(910)n-2•8-n100，
∴当n＜8时，c_n+1＞c_n
当n=8时，c_n+1=c_n，当n＞8时，c_n+1＜c_n
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有c₁＜c₂＜…＜c₈=c₉＞c₁₀＞c₁₁＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都c_n≤c_k成立

解析

910

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中an=n+1，又数列{.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。