定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的前n项的“均倒数”为1n+2，求数列{an}的通项公式；已知bn=t

题文

定义：数列{a_n}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{a_n}的前n项的“均倒数”为1n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{b_n}的前n项和S_n，求limn→∞Sn+1Sn的值；
（3）已知cn=(45)n，问数列{a_n•c_n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=n（n+2）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1
而a₁=S₁=3适合上式
∴a_n=2n+1
（2）由（1）可得，bn=tan=t^（2n+1）
∴bn+1bn=t2n+3t2n+1=t²且，b₁=t³
∴{b_n}是以t³为首项，t²为公比的等比数列
当t=1时，S_n=nlimn→∞Sn+1Sn=n+1n=1
当t≠1时，Sn=t3(1-t2n)1-t2，Sn+1Sn=1-t2n+21-t2n
若0＜t＜1，limn→∞Sn+1Sn=limn→∞1-t2n+21-t2n=1
若t＞1，limn→∞Sn+1Sn=limn→∞1-t2n+21-t2nlimn→∞1t2n- t21t2n-1=t²
（3）由（1）可得，a_n•c_n=（(2n+1)•(45)n
令D（n）=(2n+1)•(45)n，若D（n）最大
则(2n+1)•(45)n≥(2n+3)•(45)n+1(2n+1)•(45)n≥(2n-1)•(45)n-1
∴2n+1≥4(2n+3)54(2n+1)5≥2n-1
∴72≤n≤92
∵n∈N^*∴n=4，此时D（4）=9• (45)4最大

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。