已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，对任意的正整数n都有an•an+1≠1，an•an+1•an+2=an+an+1+an+2，则a1+a2+a3+…+a

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，对任意的正整数n都有a_n•a_n+1≠1，a_n•a_n+1•a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₆=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₀₆=668×（1+2+3）+1+2=4011
故答案为：4011．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，a2=2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。