设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．求a1，a2，a3；求Sn的表达式．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求S_n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，由已知得a12-2a1-a12+1=0
∴a₁=12
同理，可解得 a₂=16，a₃=112       （5分）
（2）解法一：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0，（*） （6分）
由（1）可得S1=a1=12，S₂=a₁+a₂=12+16=23由（*）式可得S3=34
由此猜想：Sn=nn+1   （8分）
证明：①当n=1时，结论成立．
②假设当n=k时结论成立，
即Sk=kk+1那么，由（*）得Sk+1=12-Sk
∴Sk+1=12-kk+1=k+1k+2
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，
Sn=nn+1 对所有正整数n都成立．（12分）
解法二：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=12-Sn-1
∴Sn-1=12-Sn-1-1=Sn-1-12-Sn-1
∴1Sn-1=2-SnSn-1-1=-1+1Sn-1-1
∴数列{1Sn-1}是以1S1-1=-2为首项，以-1为公差的等差数列，
∴1Sn-1=-2+(-1)(n-1)=-n-1
∴Sn=1-11+n=nn+1 （12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。