定义在R上的函数f满足：f=ff，且当x＞0时，f＞1．求f的值，并证明f是定义域上的增函数：数列{a

题文

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）是定义域上的增函数：
（2）数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）（n=1，2，3，…），求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在 f（x+y）=f（x）f（y）中，令 x=1，y=0，可得f（1）=f（1）f（0）．再由f（1）＞1，可得f（0）=1．
当x＜0时，f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）=1，由-x＞0 可得f（-x）＞1，f（x）=1f(-x)∈（0，1）．
当x＞0时，同理可得f（x）＞0．  综上可得，当x∈R时，f（x）＞0．
设x₁＜x₂，则 f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]．
由x₁-x₂＜0，x＜0时，0＜f（x）＜1，可得  f（x₁-x₂）-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）是定义域上的增函数．
（2）数列{a_n}满足a₁=a≠0，f（a_n+1）=f（aa_n）f（a-1）=f[（aa_n）+（a-1）]，
由f（x）是定义域R上的增函数，可得a_n+1=aa_n +a-1，即a_n+1+1=a（a_n +1），故{a_n +1}是以a+1为首项，以a为公比的等比数列．
故 a_n +1=（a+1）a^n-1，故 a_n =（a+1）a^n-1-1．
故{a_n }的前n项和s_n=（a+1）（1+a+a²+a³+…+a^n-1）-n=na  ， a=1(a+1)(1-an)1-a  ，  a≠1．

解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。