设A，B是函数f(x)=12+log2x1-x的图象上满足下面条件的任意两点．若OM=12(OA+OB)，则点M的横坐标为12．（1

题文

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=12+log2x1-x的图象上满足下面条件的任意两点．若OM=12(OA+OB)，则点M的横坐标为12．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知an=23(n=1)1(Sn+1)(Sn+1+1)(n≥2)，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵OM=12(OA+OB)∴M是AB中点，设M为（x，y）
由12(x1+x2)=x=12，得x₁+x₂=1，∴x₁=1-x₂或x₂=1-x₁
∴y=12(y1+y2)
=12[f(x1)+f(x2)]
=12(12+log2x1-x1+12+log2x21-x2)
=12(1+log2x11-x1+log2x21-x2)
=12(1+log2[x11-x1•x21-x2]
=12(1+log2x1x2•x2x1)=12
∴M点的纵坐标的定值为12
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，
则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
Sn=f(1n)+f(2n)++f(n-1n)，Sn=f(n-1n)+f(n-2n)++f(1n)，
上述两式相加，得
2Sn=[f(1n)+f(n-1n)]+[f(2n)+f(n-2n)]++[f(n-1n)+f(1n)]
=1+1++1
∴Sn=n-12(n≥2，n∈N*)
（3）当n=1时，Tn=a1=23，Sn+1+1=S2+1=32，
由T_n＜λ（S_n+1+1），得32＜32λ，得λ＞49．
当n≥2时，an=1(Sn+1)(Sn+1+1)=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2)
∴Tn=a1+a2++an=23+4(13-1n+2)=2nn+2
由T_n＜λ（S_n+1+1），得2nn+2＜λ＜n+2n，
∴λ＞4n(n+2)2=4nn2+4n+4=4n+4n+4，
∵4n+4n+4≤44+4=12，（当且仅当n=2时，=成立）∴λ＞12．
综上所述，若对一切n∈N^*．都有T_n＜λ（S_n+1+1）成立，由于49＜12，所以λ＞12

解析

OM

考点

据考高分专家说，试题“设A（x1，y1），B（x2，y2）是函.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。