设{an}是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=14．求a1的值；求数列{an}的通项公式；对于数列{bn}，Tn为数列

题文

设{a_n}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=14（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（5）对于数列{b_n}，T_n为数列{b_n}的前n项和，令b_n=1sn，试求T_n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁=S₁=14(a1-1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3
（2）由Sn=14(an-1)(an+3)
得Sn-1=14(an-1-1)(an-1+3)．∴当n≥2时，
an=14(a2n-a2n-1)+2(an-an-1)
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴由（1）知，{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1．
（3）由（2）知S_n=n（n+2）∴bn=1Sn=12(1n-1n+2)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=12(1-13+12-14++1n-1-1n+1+1n-1n+2)
=12[32-2n+3(n+1)(n+2)]
=34-2n+32(n+1)(n+2)

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是正数数列，其前n项和Sn满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。