数列{an}前n项和为Sn且an+Sn=1求{an}的通项公式；若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求{bn}

题文

数列{a_n}前n项和为S_n且a_n+S_n=1（n∈N^*）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n（n≥1），求{b_n}通项公式及前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a_n+S_n=1，
∴a_n+1+S_n+1=1
两式相减得a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．∴2a_n+1=a_n．
∴{a_n}为公式为12的等比数列．
又n=1时，a₁+S₁=1．∴a1=12
∴an=a1qn-1=12•(12)n-1=(12)n
∴{a_n}的通项公式：an=(12)n，n∈N*．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_nbn+1-bn=(12)n．
∴b2-b1=12，b3-b2=(12)2，  b4-b3=(12)3， ，  bn-bn-1=(12)n-1
相加，bn-b1=12+(12)2+(12)3++(12)n-1．
∵b₁=1，
∴bn=1+12+(12)2++(12)n-1═2(1-12n)
即bn=2(1-12n)．
Tn=2n-2(12+122++12n)=2n-2(1-12n)=2(n-1)+12n-1．
∴{b_n}通项公式为：bn=2(1-12n)，n∈N*
前n项和为：Tn=2(n-1)+12n-1，n∈N*

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}前n项和为Sn且an+Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。