对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．

题文

对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列．
（Ⅰ）判断a_n=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=13+15+17+…+12n-1(n≥2)是否为有界数列，并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=a1(1-qn)1-q＜a11-q，
则正数数列{S_n}满足|Sn|＜a11-q，即为有界数列；
当q=1时，S_n=na₁→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{S_n}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}为无界数列，事实上an=13+15+17+…+12n-1＞14+16+18+…+12n
∴2an＞13+14+15+16+…+12n-1+12n
∴2a2n＞13+14+15+16+…+12•2n=(13+14)+(15+16+17+18)+(19+…+116)+…+(12n+1+12n+2+…+12n+2n)＞14×2+18×4+116×8+…+12n×2×2n=n2
∴a2n＞n4
故当n无限增大时a_n也无限增大，
所以{a_n}无界…（12分）．

解析

a1(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{an}，若存在一个常数M，使得.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。