设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-3，n∈N*．求数列{an}的通项公式an；若数列{bn}满足bn+1=an+bn，n∈N*，b1=

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n，n∈N^*，b₁=2，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为S_n=4a_n-3，n∈N^*．
所以当n≥2时，S_n-1=4a_n-1-3
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得a_n=43a_n-1，
由S_n=4a_n-3，令n=1得a₁=4a₁-3，解得a₁=1
因此{a_n}是首项为1，公比为43的等比数列，所以a_n=(43)n-1
（2）由a_n=(43)n-1，b_n+1=a_n+b_n，即b_n+1-b_n=a_n=(43)n-1
于是当n≥2时，
b_n=b₁+b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+1+43+(43)2+…+(43)n-2
=2+1-(43)n-11-43
=3×(43)n-1-1
而b₁=2满足n≥2时，满足b_n的形式，
所以{b_n}的通项公式b_n=3×(43)n-1-1
所以T_n=3[1-(43)n]1-43-n=9×(43)n-n-9

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。