已知f=x2-4，等差数列{an}中，a1=f(x-1)，a2=-32，a3=f，其中x＞0．求x的值；求a2+a4+a6+a8+a

题文

已知f（x+1）=x²-4，等差数列{a_n}中，a1=f(x-1)，a2=-32，a₃=f（x），其中x＞0．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）求a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）令t=x+1，则x=t-1．
∵f（x+1）=x²-4
∴f（t）=（t-1）²-4=t²-2t-3
即f（x）=x²-2x-3．…（3分）
∴a₁=f（x-1）=x²-4x…（4分）
∴a₃=f（x）=x²-2x-3…（5分）
∵数列{a_n}是等差数列
∴2a2=a1+a3即2×(-32)=(x2-4x)+(x2-2x-3)
解得x=0或x=3…（7分）
又∵x＞0∴x=3即x的值是3．…（8分）
（Ⅱ）当x=3时，a₁=-3，a₂=-32，∴a_n=32n-92，…（10分）
∴a₄=32，a6=92，a8=152，a10=212
∴a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=452．…（13分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x+1）=x2-4，等差数列{a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。