已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1．求数列{an}的通项公式；设bn=nan+1(n∈N+)，求数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=S_n+2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=nan+1(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n+1=S_n+2a_n+1，∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，∴a₁+1=2，∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）bn=nan+1=n•(12)n，
∴T_n=1×12+2×(12)2+…+n•(12)n①
∴12T_n=1×(12)2+…+(n-1)•(12)n+n•(12)n+1②
①-②可得：12T_n=12+(12)2+…+(12)n-n•(12)n+1=12[1-(12)n]1-12-n•(12)n+1=1-(12)n-n•(12)n+1
∴T_n=2-(12)n-1-n•(12)n．

解析

nan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。