已知函数，f=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f求证数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（II

题文

已知函数，f（x）=x3x+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（I）求证数列{1an}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由条件得，an+1=an3an+1．
∴1an+1=1an+3⇒1an+1-1an=3．
∴数列{1an}是首项为1a1=1，公差d=3的等差数列．
∴1an=1+（n-1）×3=3n-2．
故a_n=13n-2．
（II）∵a_na_n+1=1(3n-2)(3n+1)=13（13n-2-13n+1）．
∴S_n═a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1
=13[（1-14）+（14-17）+…+（13n-2-13n+1）]
=13（1-13n+1）=n3n+1．

解析

an3an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，f（x）=x3x+1，数列{a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。