设集合M={1，2，3，…，n}，对M的任意非空子集A，定义f为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f的和为Sn，则：①S

题文

设集合M={1，2，3，…，n} （n∈N⁺），对M的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=______．②S_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子含n，有2^n-2个子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
所以S_n=2^n-1×n+2^n-2×（n-1）+…+2¹×2+1
S_n=1+2¹×2+2²×3+2³×4+…2^n-1×n①
又2S_n=2+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2ⁿ×n…②错位相减，
所以①-②可得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ×n
所以S_n=（n-1）2ⁿ+1
所以S₃=（3-1）×2³+1=17．
故答案为①S₃=17，②S_n=（n-1）2ⁿ+1．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设集合M={1，2，3，…，n}（n∈N.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。