已知函数f=3-x，等比数列an的前n项和为f-c，正项数列bn的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn=Sn-1+Sn-1，(n≥2)求c，

题文

已知函数f（x）=3^-x，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，正项数列b_n的首项为c，且前n项和S_n满足Sn-Sn=Sn-1+Sn-1，(n≥2)
（1）求c，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{bn(1-12an)}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，
∴a₁=f（1）-c=13-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-29，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-227
又数列{a_n}成等比数列，
a1=a22a3=-23，
∵a₁=13-c
∴-23=13-c，∴c=1
又公比q=a2a1=13
所以a_n=-23•(13)n-1，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn-1（n≥2）
又b_n＞0，Sn＞0，∴Sn-Sn-1=1；
∴数列{ Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴Sn=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知bn(1-12an)=（2n-1）+（2n-1）•（13）ⁿ
设（2n-1）•（13）ⁿ前n项和为Q_n   设数列2n-1的前n项和为S_n
Q_n=13+3×（13）²+5×（13）³+…+（2n-3）•（13）^n-1+（2n-1）•（13）ⁿ     ①
13Q_n=（13）²+3×（13）³+5×（13）⁴+…+（2n-3）•（13）ⁿ+（2n-1）•（13）ⁿ⁺¹  ②
①-②得：23QN=13+2[(13)2+(13)3+(13)4++(13)n]-(2n-1)(13)n+1=23-(2n+2)(13)n+1
∴Q_n=1-（n+1）（13）ⁿ
∴S_n=n²
∴T_n=S_n⁺Q_n=n²+1-（n+1）（13^）n

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3-x，等比数列an的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。