已知数列{an}满足an+1=-an2+2an，且0＜a1＜1．用数学归纳法证明：0＜an＜1；若bn=lg，且a1=910

题文

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且a1=910，求无穷数列{1bn}所有项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立
②假设n=k成立，即0＜a_k＜1成立，
当n=k+1时，a_k+1=-a_k²+2a_k=-（a_k-1）²+1，
∵0＜a_K＜1
∴0＜（a_k-1）²＜1
∴0＜-（a_k-1）²+1＜1
∴0＜a_K+1＜1
这就是说，当=k+1时，0＜a_k＜1也成立．
根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜a_n＜1恒成立．
（2）1-a_n+1=（1-a_n）²，0＜a_n＜1；
lg（1-a_n+1）=lg（1-a_n）²，，即lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即：b_n+1=2b_n
∴{b_n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．
∴b_n=-2^n-1，∴1bn= -12n-1
无究数列{1bn}所有项的和为：
1b1+1b2+…+1bn+…=limn→∞（1b1+1b2+…+1bn）=limn→∞[（-1）×1-( 12) n1-12]=-2×limn→∞（1-(12) n）=-2

解析

1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1=-an2+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。