若数列1，2cosθ，22cos2θ，23cos3θ，…，前100项之和为0，则θ的值是A．kπ±π3(k∈Z)B．2kπ±π3(k∈Z)C．2kπ±2

题文

若数列1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…，前100项之和为0，则θ的值是（ ）A．kπ±π3(k∈Z)B．2kπ±π3(k∈Z)C．2kπ±2π3(k∈Z)D．以上答案均不对 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…为等比数列，首项为1，公比为2cosθ
由等比数列的前n项和公式可得，
S₁₀₀=1+2cosθ+（2cosθ）²+…+（2cosθ）⁹⁹
=1-(2cosθ)1001-2cosθ=0
由题意可得，(2cosθ)100-1=01-2cosθ=0
∴2cosθ=-1 即cosθ=-12
∴θ=2kπ±2π3，k∈Z
故选：C

解析

1-(2cosθ)1001-2cosθ

考点

据考高分专家说，试题“若数列1，2cosθ，22cos2θ，2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。