在数列{an}中，an+1+an=2n-44a1=-23求an；设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．

题文

在数列{a_n}中，a_n+1+a_n=2n-44（n∈N*，）a₁=-23
（1）求a_n；（2）设S_n为{a_n}的前n项和，求S_n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1+a_n=2n-44①∴a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44②，②-①得a_n+2-a_n=2，
∴数列{a_n}中，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．
由已知，a₁+a₂=2-44=-42，a₂=-19
当n是奇数时，a_n=a₁+（n+12-1）×2=n-24．
当n是偶数时，a_n=a₂+（ n2-1）×2=n-21．
∴a_n=n-24      ，n为奇数时n-21      ，n为偶数时
（2）当n是奇数时，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=2[1+3+…（n-2）]-44×n-12+（n-24）
=2×(n-1)•n-122-44×n-12+（n-24）
=12n²-22n-32=12（n-22）²-4872
当n=21或23时取得最小值-243．
当n是偶数时，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2[（1+3+…+（n-1）]-n2×44
=2×n•n22-22n
=12（n-22）²-242
当n=22时取得最小值-242．
所以当n=21或23时S_n取得最小值-243．

解析

n+12

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，an+1+an=2n-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。