公差不为零的等差数列{an}中，已知其前n项和为Sn，若S8=S5+45，且a4，a7，a12成等比数列求数列{an}的通项an当bn=1Sn时，求

题文

公差不为零的等差数列{a_n}中，已知其前n项和为S_n，若S₈=S₅+45，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n
（Ⅱ）当b_n=1Sn时，求数列{b_n}的前n和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S₈=S₅+45得，S₈-S₅=45，
∴a₆+a₇+a₈=45，即3a₇=45，得a₇=15，
又∵a72=a4•a12，设公差为d≠0，
∴a1+6d=15(a1+6d)2=(a1+3d)(a1+11d)
解得a1=3d=2，
∴a_n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2)
∴bn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，
Tn=b1+b2+b3+…+bn=12[(11-13)+(12-14)+…+(1n-1n+2)]=12(11+12-1n+1-1n+2)
∴Tn=34-2n+32(n+1)(n+2)．

解析

a1+6d=15(a1+6d)2=(a1+3d)(a1+11d)

考点

据考高分专家说，试题“公差不为零的等差数列{an}中，已知其前.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。