已知数列{an），其中a2=6，an+1+an-1an+1-an+1=n求a1、a3、a4；求数列{an}通项公式；设数列{bn}为等差数列，

题文

已知数列{a_n），其中a₂=6，an+1+an-1an+1-an+1=n
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）求数列{a_n}通项公式；
（3）设数列{b_n}为等差数列，其中b_n=ann+c（c为不为零的常数），若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求1S1+1S2+…+1Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₂=6，a2+a1-1a2-a1+1=1，a3+a2-1a3-a2+1=2，a4+a3-1a4-a3+1=3
得a₁=1，a₃=15，a₄=28
（2）猜想a_n=n（2n-1），下面用数学归纳法证明
①当n=1时，由已知，显然成立．
②假设当n=k（k≥1）时成立，即a_k=k（2k-1）
则当n=k+1时，有ak+1+ak-1ak+1-ak+1=k．所以（k-1）a _k+1=（k+1）a _k-k（k+1），
a _k+1=（k+1）[2（k+1）-1]
即当n=k+1时也成立．所以a_n=n（2n-1）成立
（3）因为{b_n}为等差数列，所以2b₂=b₁+b₃．
∴2a22+c=a11+c+a33+c，又a₁=1，a₂=6，a₃=15，
∴c=-12，∴bn=ann-12=n(2n-1) 12(2n-1)=2n．
故S_n=b₁+b₂+…+b_n，=n（n+1）
1S1+1S2+…+1Sn=[11×2+12×3+…+1n(n+1)]
=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1

解析

a2+a1-1a2-a1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an），其中a2=6，an+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。