已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=-n2+9n，n∈N+．求{an}的通项；设Tn=|a1|+|a2|+…|an|，求Tn．

题文

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且Sn=-n2+9n，n∈N+．
（1）求{a_n}的通项；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①当n=1时，a₁=S₁=8…（2分）
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=-n2+9n-[-(n-1)2+9(n-1)]
=-2n+10
检验：a₁适合a_n=-2n+10…（5分）
综合①②得：a_n=-2n+10…（6分）
（2）①当n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n=-n²+9n…（8分）
②当n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₅）-（a₁+a₂+…+a_n）=n²-9n+40…（11分）
综合①②得：Tn=-n2+9(n≤5)n2-9n+40(n≥6)…（12分）

解析

=-n2+9n-[-(n-1)2+9(n-1)]

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。