设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an-2，令bn=log2an试求数列{an}的通项公式；设cn=bnan，求证数列{cn}的前n项和Tn＜2

题文

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bnan，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数记为d_m，求数列{d_m}的前m项和T_m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以2为为公比的等比数列，且首项a₁=2，
通项公式为an=2×2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）cn=bnan=n2n
T_n=121+222+…n2n，两边同乘以12得
12T_n=122+223+…n-12n+n2n+1
两式相减得出12T_n=121+122+…12n-n2n+1=1-12n-n2n+1=1-n+22n+1
∴T_n=2-n+22n
∴T_n＜2
（Ⅲ）数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，
所以数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数d_m=2^2m-1-2^m-1-1，
所以T_m．=2(4m-1)4-1-2m-12-1-m=13×22m+1-2m-m+13

解析

bnan

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。