已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n．求数列{an}的通项公式；设数列{an}的前n项之和Sn，求Sn，并证明

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n，并证明：Sn2n＞2n-3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵an=2an-1+2n（n≥2，且n∈N^*），
∴an2n=an-12n-1+1，即an2n-an-12n-1=1（n≥2，且n∈N^*），…（3分）
所以，数列{an2n}是等差数列，公差d=1，首项12，…（5分）
于是an2n=12+(n-1)d=12+(n-1)•1=n-12，
∴an=(n-12)•2n．…（7分）
（Ⅱ）∵Sn=12•2+32•22+52•23+…+（n-12）•2ⁿ，①
∴2S_n=12•22+32•23+52•24+…+(n-12)•2n+1，②…（9分）
①-②，得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-12)•2n+1
=2+2²+2³+…+2n-(n-12)•2n+1-1
=2(1-2n)1-2-(n-12)•2n+1-1
=（3-2n）•2ⁿ-3，…（12分）
∴Sn=(2n-3)•2n+3＞（2n-3）•2ⁿ，
∴Sn2n＞2n-3．…（14分）

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，且an=2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。