已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n，n∈N*．求a的值；求数列{an}的通项公式；（

题文

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=2，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=n（3a₁+a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=2  (n=1) 8an+1•an+2(n≥2) T_n是数列{b_n}的前n项和，且an+2•Tn＜m•a2n+2+2对一切n∈N^*都成立，求实数m取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵2S_n=n（3a₁+a_n），S₁=a₁=a，
∴2a=4a，
所以a=0．…..（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Sn=nan2，
∴Sn+1=(n+1)an+12．
∴an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+12-nan2．
∴（n-1）a_n+1=na_n．
∴当n≥2时，an+1an=nn-1．
∴an+1an=nn-1anan-1=n-1n-2，…，a3a2=21，
∴an+1a2=n．
∴a_n=2（n-1），n≥2．
∵a₁=a=0满足上式，
∴a_n=2（n-1），n∈N^*．…..（6分）
（Ⅲ）当n≥2时，bn=82n•2(n+1)=2n(n+1)=2(1n-1n+1)．…..（7分）
又b₁=2，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2(12-13)+…+2(1n-1n+1)…..（9分）
=2+2(12-1n+1)=3n+1n+1
所以Tn=3n+1n+1．…..（10分）
因为an+2•Tn＜m•a2n+2+2对一切n∈N^*都成立，
即2(n+1)•3n+1n+1＜m•4(n+1)2+2对一切n∈N^*都成立．
∴m＞32.nn2+2n+1=32.1n+1n+2．…..（12分）
∵n+1n≥2，当且仅当n=1n，即n=1时等号成立．
∴n+1n+2≥4．
∴1n+1n+2≤14
∴m＞38．…..（14分）

解析

nan2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=a，a2=2，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。