已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225；等比数列{bn}满足：b3=a2+a3，b2b5=128求数列{an}和{bn}的通项公

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225；等比数列{b_n}满足：b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）记c_n=a_n+b_n求数列{c_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n=a₁+（n-1）d，S_n=n(a1+an) 2，
所以 a₃=a₁+2d=5      ①，
S₁₅=15( a1+a15)2=15（a₁+7d）=225
a₁+7d=15         ②
①②联立解得d=2，a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1
设b_n=b₁•q^（n-1），
所以 b₃=a₂+a₃=8，
b₂=b3q，b₅=b₃•q²
∴b₂•b₅=b₃²•q=64•q=128
∴q=2
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（2）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ
∵Tn=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2Tn=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
作差：-Tn=2+2³+2⁴+2⁵+…+2 ⁿ⁺¹-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
=2+23（1-2n-1）1-2-（2n-1）•2n+1
=2+23(1-2n-1)1-2-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
=2+2ⁿ⁺²-8-2 ⁿ⁺²n+2 ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹•（2n-3）
∴Tn=（2n-3）•2 ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．

解析

n(a1+an) 2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。