已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．求{an}的通项公式；记bn=1anan+1

题文

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，其前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，1+a₃成等比数列．
（I）求{a_n}的通项公式；（II）记bn=1anan+1(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题得：2a1(a3+1)=a22a1+a2+a3=12
即a1(a1+2d+1) =8a1+d=4，得d²+d-12=0．
∵d＞0，∴d=3，a₁=1．
∴{a_n}的通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）∵b_n=1an•an+1=1(3n-2)(3n+1)=13（13n-2-13n+1）．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=13[（1-14）+（14-17）+…+（13n-2-13n+1）]
=13（1-13n+1）
=n3n+1．

解析

2a1(a3+1)=a22a1+a2+a3=12

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。